储蓄与投资计算器

复利的意思是，今年赚到的增长，明年自己也会继续赚增长。所以那条线是往上弯的，而不是一条直线。你填的回报率是一个平均值，不是承诺。真实市场把它拆成好年份和坏年份交错着给你，而且如果你正在往外取钱，这些年份到来的先后顺序就很要紧。这里把每期的投入记在期末，是偏保守的算法。要是你在月初就先把钱存进去，结果会多出零点几个百分点。购买力那一栏把通胀重新扣掉，所以期末余额是按今天能买到多少东西来表示的。

这是把复利那道算式倒过来算：你说出终点，它算出每月该存多少。如果目标在五年以内，就把利率填低一点，钱也放在不会跌的地方，比如高收益储蓄账户。期限一到就要用钱，万一临门一脚碰上市场下跌，这么短的时间是补不回来的。

应急基金的单位是几个月的开销，不是一个凑整的金额。所以它是按那些收入断了也照样要付的账单来算的。只算必需开销：这笔钱的目标是撑下去，不是维持你现在的生活方式。工资稳定、家里还有第二份收入的，三个月就够。收入浮动、自雇或者全家只有一份收入的，六到十二个月更合适。

银行打广告用的是年化收益率（APY），里面已经含了复利。放贷方报的是年化利率（APR），里面没有。这里用同一个利率把两个都算出来，差别就看得见了。定期存单（CD）会把利率锁到期满：利率下跌时它保护你，利率上涨时它让你吃亏。而且提前取出通常要罚掉几个月的利息。

总回报回答的是你赚了多少。年化回报回答的是赚得多快，而这是把持有六个月和持有十年放在一起比较的唯一公平办法。“翻了一倍”这句话在两种情况下听起来一模一样，背后却是完全不同的投资。这里把费用和股息都算了进去，因为漏掉任何一边，数字都会被美化。

费用是按整个账户余额每年收一次的，而被拿走的这笔钱，本来还能在剩下的每一年里继续复利。所以一个看着微不足道的百分比，最后会吃掉两位数比例的余额。指数基金通常收不到 0.10%，主动管理型基金是这个数的十倍，按比例收费的理财顾问还要在上面再加大约 1%。

投资的名义回报，是这里三个数字中最没用的一个。税先从增长里拿走一部分，通胀再从剩下的部分里拿走一部分，所以一个听起来很健康的回报，可能只让你勉强跑赢。正确的算法是除，不是减：7% 的回报配上 3% 的通胀，实际增长是 3.9%，不是 4%。这里把税处理成每年从回报里剃掉一层，那大致就是一个有一定换手的普通券商账户的样子。如果你买入之后拿几十年不动，税只在卖出那一次落地，实际数字会比这里稍好一些。州税、基金费用和交易成本都没有算进去。另外，真正跟你有关的通胀率，是你实际会买的那些东西的涨幅，而不是全国平均数。

用 72 除以回报率，就能在脑子里算出翻倍要几年，这正是它存在的全部理由。它只是真实答案的一个近似：真实答案是 2 的自然对数，除以（1 加上回报率）的对数。之所以用 72 而不是数学上更工整的 69.3，是因为 72 能被 2、3、4、6、8、9 和 12 整除。在大约 6% 到 10% 之间，这个速算法很接近；出了这个区间就越偏越远，所以这里把精确值放在了它旁边。两个数字都没有考虑税、费用和通胀。名义上钱翻了一倍，物价也翻了一倍，你还站在原地。

同一个利率可以有两种写法。名义利率，也就是银行标成 APR 的那个，是还没把复利算进去的年利率。实际利率，在储蓄产品上标成 APY，是利息自己也开始生息之后，这个账户一年真正付给你的。储蓄账户宣传两者中大的那个，贷款宣传小的那个，这不是巧合。在普通的利率水平上，两者差得不多；利率一高，差距就迅速拉开，信用卡的算术之所以难看就是这个原因。按法律规定，贷款的 APR 还要把一部分费用折进去，所以真实的贷款报价并不是一个纯粹的利率。以上这些都没有算你赚到的利息要交的税。

再投资把每一笔股息变成更多股票，这些股票自己又会派股息，曲线就是这么来的。这里两条路的税负完全一样，因为 IRS（美国国税局）不在乎股息有没有被再投资：不管哪一条，它在派发的那一年都算收入，除非账户是 IRA（个人退休账户）或 401(k) 退休账户。真正把两条路分开的，只是这笔钱之后去了哪里。现金那条路假设钱被花掉或者闲置着，所以如果你把它投到别处，差距就会缩小。股息增长和股价增长在这里是按平滑的年度数字填进去的，而真实的公司在坏年头会削减股息，那恰恰是平滑模型看起来最有说服力的时候。

定期定额投资的意思是，按固定的时间表投入固定的金额，而不是一次性全投进去。价格低的时候它买到更多股数，价格高的时候买到更少，而且它省掉了“什么时候开始”这个决定。它做不到的是跑赢一个上涨的市场，而市场上涨的时候比下跌的时候多：历史上，一次性立刻投入大约有三分之二的时间跑赢分批投入。只要你填的回报率高于等待中那笔现金的利率，这个计算器就一定会得出同样的结论，因为它里面根本没有波动。分批投入真正的理由不是算术。而是在你把全部身家投进去的第二个月就遇上 30% 的下跌，那种事会让人在底部卖出。

投资组合会漂移，因为各部分增长的速度不一样，而漂移不是中性的：股票涨了一大段之后，你承担的风险比你当初选的要多，而且往往就在你即将发现这件事之前。再平衡就是卖掉涨得好的、买入涨得差的，这感觉不对劲，但这正是它的意义。在应税账户里，每一次卖出都会实现一笔利得和一张税单，所以把新投入的钱和收到的股息导向仓位偏轻的那一项，是更便宜的做法，那个额外现金的输入框就是干这个用的。再平衡区间，比如只有当某一项偏离目标 5 个百分点时才动手，能大幅减少交易，同时又不让组合跑太偏。这里没有考虑税，没有考虑交易成本，也没有考虑洗售规则。

资产配置是解释一个投资组合大部分表现的那个决定。股票扛回报，也扛下跌；债券缓冲下跌，给的回报也少；现金两件事都不做，它存在的意义是让你永远不必在糟糕的时刻被迫卖东西。下面的回报数字是美国近一个世纪的平均值，而单独某十年可能跟它完全不像：2000 到 2009 年股票基本没赚，债券在 2022 年创下有记录以来最差的一年。“糟糕的一年”这个估算，是把每类资产各自最差的一个日历年按比例混起来。它只是风险的一个粗略替身，不是下限；一个组合可以跌得比这更多，而 1931 年对股票来说比 2008 年糟糕得多。建议的配置只是按你的年龄套的一条经验法则，不是建议。它不知道你的工作稳不稳、你还有什么别的资产，也不知道数字下跌的时候你实际会怎么做。

成本基础就是你付出去的钱，卖出时的利得正是相对它来衡量的，所以值得把它记准。佣金和费用算在里面，再投资的股息也算：每一次再投资都是按那天的价格买入的一笔新股，这就是为什么有人从来没卖过东西，却还是要为持有多年的基金交税。这里显示的平均价是一个组合层面的汇总，不是一种税务计算方法。共同基金可以用平均成本法，但个股卖出要么按先进先出法（FIFO），要么指定具体的某一批，而指定成本最高的那一批通常更省税。利得在卖出之前都只是未实现利得，而未实现利得不需要你付出任何代价。

债券的票息从来不变，所以价格一动，收益率就往反方向走：付的钱低于面值，同样的票息换算成百分比就更高，而且到期时你还能把那段差价拿回来。当前收益率只算票息除以价格。到期收益率还算上价格向面值回归的那一段，那才是拿去和另一只债券比较的数字。这里的主数字用的是标准近似法，把折价或溢价平摊到剩下的每一年上，在长期债券上它和真实值会差零点几个百分点；精确解出的收益率就放在旁边。这里把票息当成一年付一次，而美国大多数债券一年付两次。整套计算还假设发行方付得出钱，并且你会按同样的收益率把票息再投资出去。这两点都没有保证。